QE：径向波函数与氢样解析参考

下载三组完整输入、实际径向结果、CSV与绘图脚本，保存为 example.zip：

python3 -m zipfile -e example.zip .
cd qe-atomic-radial
module load ase/3.29.0 qe/7.6-8173m
bash read.sh
bash plot.sh

本例使用 QE 7.6 的 ld1.x，CPU 构建为 Intel oneAPI 2024.2 / Intel MPI 2021.13 与 MKL；后处理使用 NumPy、SciPy 和 Matplotlib。ld1 处理孤立原子的径向问题，与周期体系的 pw.x 平面波计算采用不同的数据和输入方式。

1. 先明确这是固定势参考#

设置 noscf=.true. 后，本例求解固定氢样势中的轨道，不进行电子密度自洽。它适合用解析答案理解文件、单位和径向积分，不能把这个开关当作一般 DFT 自洽计算的加速替代。

完整输入：

&input
 title='H-hydrogenic',
 zed=1,
 config='1s1',
 iswitch=1,
 rel=0,
 lsd=0,
 isic=0,
 latt=0,
 dft='PZ',
 xmin=-8.0,
 dx=0.008,
 rmax=40,
 tr2=1d-12,
 prefix='atom',
 file_charge='density.dat',
 noscf=.true.
/

其中 dft 保留输入字段，但这个固定氢样势参考没有调用该泛函做密度自洽。

2. 实际运行与查看#

在已分配的 CPU 资源内执行：

mkdir hydrogenic-new
cd hydrogenic-new
ld1.x < ../inputs/H-hydrogenic.in > native.out
cat atom.wfc | head
grep -A4 'normalization and overlap' native.out
cd ..

本例 1s 能级为 −1 Ry = −0.5 Ha ≈−13.6057 eV。核电荷 Z=1 的解析约化径向函数为：

u₁ₛ(r)=2r·exp(−r)，r 使用 Bohr。

原生 atom.wfc 的第一列为 r，第二列是这种约化径向函数 u(r)，不是三维波函数，也不是电子密度。

3. 正确的归一与径向矩#

约化径向函数满足 ∫|u(r)|²dr=1；平均半径为 ∫r|u|²dr，均方半径为 ∫r²|u|²dr。本例实际恢复：

• 归一积分约 1；
• ⟨r⟩约 1.5 Bohr；
• ⟨r²⟩约 3 Bohr²。

head -n 6 analysis-read/atomic-summary.csv
head -n 5 analysis-read/radial-functions.csv

左图把原生轨道与解析 u(r) 对照；右图展示另两组真正自洽原子的能量分解。不要把固定势能级和不同泛函的自洽总能混作同一种量。

4. 两个容易误读的文件#

固定势条件下，当前 density.dat 写出零值，因为程序没有计算自洽电荷。这不是 H 原子含零个电子。本包在这个条件中从轨道的 |u|² 重建一个电子的解析参考分布，并在其他两组使用实际原生自洽电荷。

另外，H-LSDA 会同时输出 atom.wfc.up 与 atom.wfc.dw。本例下自旋轨道也可以归一化，但占据为零；不能仅看它存在，就把它当成额外的一个电子加入电荷。

head -n 4 reference-results/H-LSDA/atom.wfc.up
head -n 4 reference-results/H-LSDA/atom.wfc.dw
head -n 4 reference-results/H-LSDA/density.dat

轨道形状、轨道归一、占据数和实际电子密度，应分别对应。

5. 生成新结果的完整流程#

bash submit.sh
squeue -u "$USER"

作业完成后：

bash read.sh work-new analysis-new
bash plot.sh analysis-new

模板依次执行氢样参考、H-LSDA 和 He-LDA。普通查看或绘图不提交新任务；新计算使用新的 work-new 目录，避免覆盖已有结果。更完整的泛函、相对论、赝势生成和测试属于 ld1 的其他入口，本篇只解释这三组已计算条件。